Projektübersicht

Ziel des Vorhabens ist die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens von geeigneten Abstandsmaßen zwischen Produktdichten, Paarkorrelationsfunktionen bzw. Momentenfunktionen zweiter Ordnung und ihren zugehörigen nichtparametrischen Schätzungen im Falle von stationären (und isotropen) Punktprozessen im R^d. Ausgehend von einer einzigen Realisierung eines Punktfeldes in einem nach allen Seiten als wachsend angenommenen konvexen Beobachtungsfensters werden bewährte und teils modifizierte empirische Größen zweiter Ordnung (Produktkerndichteschätzungen, Schätzer vom Horwitz-Thompson-Typ u.ä.) ermittelt und Distanzmaße zu einer entsprechenden hypothetischen Größe zweiter Ordnung, z.B. der integrierte quadratische Fehler, bestimmt. Basierend auf Mischungsvoraussetzungen an den hypothetischen Punktprozess werden (funktionale) zentrale Grenzwertsätze hergeleitet, so dass die Grenzverteilung nur von der zugrunde gelegten Größe zweiter Ordnung abhängt. Auf diese Weise sollen verteilungsfreie Testverfahren für Punktprozesse entwickelt werden. Diese Vorgehensweise soll auch auf andere stationäre zufällige Maße wie z.B. Faserprozesse ausgedehnt werden. Die Güten der vorgeschlagenen Testverfahren insbesondere bei moderaten Fenstergrößen werden mittels Simulationsstudien untersucht. Die Testverfahren sollen für die Statistiksoftware R implementiert werden.

This project within the area of PDE constrained optimization focuses on the development, analysis and implementation of optimization algorithms that combine efficient solution techniques from the numerics of PDEs, namely multilevel iterative solvers, and state-of-the-art optimization approaches, the so-called `all-at-once' optimization methods. It is well-known that multilevel techniques provide efficient PDE solvers of optimal algorithmic complexity. On the other hand, optimization methods within the all-at-once approach, such as sequential quadratic programming (SQP) methods and primal-dual Newton interior-point methods, have the appealing feature that in contrast to more traditional approaches, the numerical solution of the state equations is an integral part of the optimization routine. This is realized by incorporating the PDEs as constraints into the optimization routine. These strategies allow to save a considerable amount of computational work compared to methods that treat the PDE solution as an implicit function of the control/design variables. Moreover, the proper combination of multilevel techniques and optimization algorithms makes it possible to extract essential structural information from the originally infinite dimensional optimization problem. This can not be done with respect to a single grid. We aim to develop and analyze multilevel preconditioners for optimization subproblems arising in SQP and primal-dual Newton interior-point methods including strategies to control the level of inexactness allowable in optimization subproblems, when using iterative subproblem solvers. Moreover, we will investigate strategies to use multilevel methods for detection of negative curvature and in path following methods.

Durchführung einer internationalen Fachtagung in Augsburg, deren Themenauswahl sich um neuere Entwicklungen im Zusammenhang mit der Arbeit "Kodaira-Spencer theory of gravity and exact results for quantum string amplitudes" von Bershadsky, Cecotti, Ooguri und Vafa gruppiert. Konkret behandelt das zitierte Papier die Geometrien, die topologischen Quantenfeldtheorien und deren Deformationen zugrunde liegen. Hier werden Ideen aus der algebraischen Geometrie und Singularitätentheorie (Frobeniusmannigfaltigkeiten und deren Verallgemeinerungen, gemischte Twistorstrukturen, primitive Formen, harmonische Bündel), aus der Theorie der integrablen Systeme sowie der Quantenfeldtheorie zusammengebracht. Ziel der Tagung war es insbesondere, jüngste Fortschritte aus den oben genannten Bereichen anzusprechen, die auf den ersten Blick weit auseinander zu liegen scheinen, jedoch alle in der zitierten Arbeit verwurzelt sind. Diese scheinbar disjunkten Stränge sollten zusammengeführt und der Dialog insbesondere zwischen den beteiligten Mathematikern und Physikern angekurbelt werden.