Projektübersicht

This research project with Universidad Católica del Norte in Antofagasta, Chile, (Professor Victor Ayala) explores various problems concerning topological equivalence of control systems and families of vectorfields as well as universal coverings of semigroups.

Das Ziel dieses Projekts im DFG Schwerpunktprogramm 1305 „Regelungstheorie digital vernetzter dynamischer Systeme“ (http://spp-1305.atp.ruhr-uni-bochum.de/) ist es, mathematische Grundlagen für die erforderliche Informationsübertragung bei digital vernetzten Regelungssystemen zu legen. Dabei sollen Konzepte aus der symbolischen und der numerischen Dynamik modifiziert und mit kontrolltheoretischen Methoden kombiniert werden, um sie für die Analyse des Verhaltens dieser Regelungssysteme nutzbar zu machen. Im Zentrum der Untersuchungen wird die Information stehen, die nötig ist, um Invarianz und Stabilisierung zu erreichen. Dabei werden Konzepte entwickelt, die flexibel und allgemein genug sind, um zeitvariante Störungen, Input-Output-Verhalten und Netzstruktur zu berücksichtigen. Damit wird ein Beitrag geleistet, das Zusammenspiel zwischen physikalischen Regelungssystemen und beschränkten und zeitlich variablen Kommunikationskanälen zu verstehen. Ferner werden mit Methoden der mengenorientierten Numerik Algorithmen entwickelt, die es erlauben, für prototypische Anwendungen die im Allgemeinen analytisch nicht zugänglichen charakteristischen Größen zu berechnen.

In diesem Projekt soll der bereits zuvor entwickelte Begriff von Grenzwertprozessen für konforme Feldtheorien auf supersymmetrische Theorien verallgemeinert werden. Man erwartet, daß die resultierenden degenerierten konformen Feldtheorien unter Anwendung von Techniken aus der nichtkommutativen Geometrie geometrische Interpretationen in Form einer Metrik, eines Dilatons und einer komplexen Struktur zulassen, inklusive eines Dirac-Operators. Die so erhaltenen degenerierten Geometrien sollen mit den Gromov-Hausdorff-Limites verglichen (und am besten identifiziert) werden, die im Rahmen der Spiegelsymmetrie wesentlich sind. Das Projekt umfaßt darüber hinaus die Anwendung dieser neu entwickelten Methoden auf eine wichtige Familie von Beispielen. Insgesamt soll ein vollständiges geometrisches Verständnis für alle Strukturen entwickelt werden, die sich aus Grenzwertprozessen für superkonforme Feldtheorien gewinnen lassen.

Dies ist eine ca. dreimonatige Unteraktivität des Warwick Algebraic Geometry Symposiums 2007/08, die Fragestellungen gewidmet sein soll, welche aus der topologischen Quantenfeldtheorie kommen. Insbesondere werden im Rahmen dieser Unteraktivität eine internationale Frühjahrsschule und eine Konferenz stattfinden.

Ideen aus der Quantenfeldtheorie und Stringtheorie hatten in den letzten 20 Jahren einen enormen Einfluß auf die Entwicklung der Geometrie; zu den eindruckvollsten Beispielen zählen die Spiegelsymmetrie, Gromov-Witten-Invarianten und die McKay-Korrespondenz. Die Themen, die im Vordergrund von WAG07-08 stehen, gehen zurück auf die Arbeiten von Cecotti und Vafa und deren Co-Autoren aus den neunziger Jahren. Diese Arbeiten stellen eine Reihe von Ideen aus der Quantenfeldtheorie vor, die sich zu neuen Bestandteilen der Mathematik entwickelt haben. Das Spektrum der Ideen die untersucht werden sollen umfaßt die Physik der Stringtheorie, topologische Quantenfeldtheorie, den Formalismus von tt* Gleichungen und ihren klassischen Grenzwerten, aber auch mathematisch exakter Begriffe, wie Dubrovins Frobenius Strukturen auf Mannigfaltigkeiten und Hertlings TERP Strukturen. Dies ist lax formuliert eine Bereicherung von Hodge- Strukturen (und ihrer Variationen) um Daten der symplektischen Seite von Spiegelsymmetrien. Ebenso wie viele Voraussagen im Bereich der enumerativen Geometrie, liefert dies konkrete Resultate in Anwendungen der Singularitätentheorie and algebraischen Geometrie und führt direkt zu Fragen in der Geometrie, wie z.B. zu Moduli flacher Strukturen auf Bündeln und zu integrablen Systemen.

Dieses Projekt integriert die Forschung und Ausbildung in Mathematischer Physik, in Geometrie und in Stringtheorie am Institut für Mathematik der University of Pennsylvania at Philadelphia vertikal. Die UPenn-Gruppe wird eine Reihe von Ausbildungsaktivitäten wie Sommerschulen und wissenschaftliche Workshops veranstalten und auch neue Lehrkonzepte entwickeln, einschließlich eines Lehrbuches. Gleichzeitig werden drei Forschungsprojekte gefördert: die spannenden neuen Verbindungen zwischen der Geometrie des Langlands Programms und Dualitäten in der Quantenfeldtheorie und Stringtheorie; geometrische und numerische Untersuchungen der Operation des Renormierungsgruppenflusses auf den Moduli von supersymmetrischen Quantenfeldtheorien; und die Erforschung von Metriken mit spezieller Holonomie. Es werden hervorragende Ausbildungsbedingungen geschaffen, die US-Studenten unterschiedlichsten Ausgangsniveaus dazu anregt, mathematische Aspekte der Hochenergiephysik zu erschließen.
Die mathematische Physik ist heutzutage einer der aktivsten Bereiche der Mathematik und Physik mit immer wichtigeren Verbindungen in andere Bereiche der Mathematik und der Wissenschaft. Die Projektaktivitäten sollen die Anzahl und Vielfalt der Amerikaner erhöhen, die mathematische Physik, Geometrie und Stringtheorie aktiv entdecken, und die Ausbildungsqualität soll verbessert werden. Es wird eine signifikante Verbesserung auf allen Ebenen der graduierten und postgraduierten Forschung erwartet. Gerade heute ist es besonders interessant auf diesem Gebiet zu forschen, weil das allgemeine Interesse an der Theorie des Universums enorm gewachsen ist. Dies erschwert aber andererseits den jungen Forschern den Einstieg. Dieses Projekt wird die Anzahl gut ausgebildeter Forscher im Bereich Mathematische Physik, Geometrie und Stringtheorie erhöhen und damit Ausbildungs-Infrastruktur und die Forschungs-"Arbeiterschaft" in diesen wichtigen Gebieten der Mathematik im 21. Jahrhundert verbessern.