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Projektübersicht


  • The geometry of topological quantum field theories (ERC-StG) (Analysis und Geometrie)
    Das Projekt widmet sich einer umfassenden Untersuchung der Geometrie topologischer Quantenfeldtheorien (TQFTen).

    TQFTen sind aus vielerlei Gründen nützlich: Zunächst -und das ist der ursprüngliche Ansatz- können sie als Spielzeugmodelle von Stringtheorien angesehen werden, indem letztere dramatisch, sogar bishin zur Lösbarkeit vereinfacht werden. Zweitens -und dies ist noch wichtiger- kann man vollständige Superstringtheorien, die normalerweise auf einem sogenannten Calabi-Yau "Target-Raum" X konstruiert sind, auf TQFTen projizieren, wodurch eine Auswahl der ursprünglichen Stringtheoriedaten vereinfachten Berechnungsmöglichkeiten zugänglich werden. Diese Daten sind sogar häufig anders überhaupt nicht berechenbar. Da sie eng mit der unterliegenden Target-Raum-Geometrie von X verknüpft sind, liefern solche Berechnungen regelmäßig wichtige Erkenntnisse über die Geometrie.

    Das Forschungsprojekt basiert auf grundlegenden Konzepten, welche die Geometrie von Modulräumen von TQFTen betreffen, und es zielt auf eine umfassende Beschreibung von TQFTen, welche D-Branen und die Rolle verallgemeinerter Thetafunktionen sowie BPS-Algebren und automorphe Formen einschließen soll. Wir werden einem mathematischen Zugang folgen, in dem zuerst ein vollständiges Verständnis der geometrischen Eigenschaften von Moduliräumen von TQFTen entwickelt werden soll. Als Ansatzpunkt bieten Hertling's "TERP Strukturen" eine abstrakte Beschreibung solcher Moduliräume, während TQFTen als Ergebnis einer Quantisierung von Räumen mit TERP Struktur aufgefaßt werden sollen. Dieser Zugang kombiniert die Vorteile der Blickwinkel sowohl aus mathematischer als auch aus physikalischer Sicht: Die Forschung basiert einerseits auf soliden mathematischen Grundlagen, nutzt aber andererseits die gemeinsamen Wurzeln scheinbar separater mathematischer Forschungsgebiete in der Physik aus, die sich seit mehr als zwanzig Jahren auseinander entwickeln, um diese wieder zusammenzuführen.

  • Workshop "Algebraic and Topological Aspects of D-Branes" Prof. K. Wendland (Analysis und Geometrie)
    Der Workshop ist vom DAAD im Rahmen des Giovanni-Prodi-Lehrstuhlprogramms an der Universität Würzburg gefördert. Dieser Lehrstuhl ist im Wintersemester 2009/10 mit Professor Terry Gannon besetzt. Passend zu dessen Spezialgebiet, der konformen Quantenfeldtheorie, einem aktuellen Gebiet aus der mathematischen Physik, beschäftigt sich das Thema des Workshops mit sogenannten D-branen, vor allem vom Standpunkt der konformen Feldtheoretiker. Solche D-branen treten in offenen Stringtheorien auf, denn auf ihnen enden offene Strings. Die mathematische und algebraische Beschreibung fasziniert Geometer, Topologen, Algebraiker und mathematische Physiker gleichermaßen und steht thematisch im Mittelpunkt des Workshops.

  • Mehrskalenanalyse stochastischer partieller Differentialgleichungen (SPDEs) Dirk Blömker (Nichtlineare Analysis)
    Das Studium der qualitativen Dynamik unendlich dimensionaler stochastischer Systeme, die durch stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDEs) beschrieben werden, ist ein wichtiges und aktives Forschungsfeld im Grenzbereich Analysis und Stochastik. Allerdings gibt es noch eine Vielzahl offener Fragen zur qualitativen Beschreibung der Dynamik. Während z.B. die Existenztheorie zufälliger invarianter Mannigfaltigkeiten und Attraktoren weitestgehend geklärt ist, ist deren Dynamik zumeist nicht untersucht. Amplitudengleichungen können hierbei, wie im deterministischen wohl bekannt, fehlende Zentrumsmannigfaltigkeitstheorie ersetzen. Dies basiert auf einen natürlichen Mehrskalenansatz in der Nähe eines Stabilitätswechsels, und reduziert die Komplexität der Dynamik. Ziel dieses Projektes ist es die Theorie der Amplitudengleichungen für SPDEs weiter zu entwickeln, um eine qualitative Beschreibung dynamischer Phänomene zu erhalten, die beim Wechselspiel von Rauschen und Nichtlinearität insbesondere auch auf großen Gebieten auftreten.