A © Universität Augsburg
B © Universität Augsburg
C © Universität Augsburg
D © Universität Augsburg

A: Eye

Eine Ellipse wird flächig gefüllt. Die große Halb­achse wird wieder­holt ver­klei­nert und die resul­tie­rende Ellipse -mit anderer Farbe- wieder gefüllt. Nach einigen derar­tigen Schrit­ten ist aus der großen Halb­achse die klei­nere gewor­den, und das Ver­fahren wird mit ver­tausch­ten Rollen der Halb­achsen wieder­holt. Die Kon­struk­tion ähnelt inso­fern dem 'Asterisk'.


Mathematik: Ellipsengleichung.

B: Polyzykel

Die Punkte eines regel­mäßi­gen $ n $ -Ecks werden nach Art eines Penta­gramms zum Poly­gon ver­bun­den und mehr­fach unter Ände­rung der Farbe und Dre­hung des Koor­di­na­ten­systems als Linie mit kon­stan­ter Stärke gezeich­net. Durch eine nach­träg­liche Deh­nung der X-Achse erscheint der ursprüng­liche Kreis als Ellipse.


Mathematik: Kreisgleichung.

C: Lissajous

Die Lissajous-Figur ist eine Ver­wandte des Krei­ses bzw. der Ellipse. Während der Kreis mit Radius $ r $ die Dar­stel­lung $$ (x,y) = (r\cdot\cos(t),r\cdot\sin(t)) $$

hat und die Ellipse statt eines Radius $ r $ zwei i.a. ver­schie­dene 'Halb­achsen' $ a $ und $ b $ ver­wendet, läßt die Lissajous-Figur den Para­meter t in den trigo­no­me­tri­schen Funk­tio­nen Sinus und Cosinus ver­schie­den schnell laufen: $$ (x,y) = (a\cdot\cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $$
Für das Bild wird eine (5,3)-Lissajous-Figur als Linie wieder­holt mit schwin­den­der Linien­stärke und wech­seln­den Farben bei kon­stan­ten Halb­achsen ge­zeichnet.


Mathematik: Lissajous-Figur.

D: Epizykel

Zur Konstruktion eines Epizykels werden zwei Kreis-Kon­strukte mit­ein­ander über­lagert:
$$ (x,y) = (a\cdot\cos(n_a\cdot t)+b\cdot\cos(t_0+n_b\cdot t),a\cdot\sin(n_a\cdot t)+b\cdot\sin(t_0+n_b\cdot t)) $$
Dies war lange Zeit der theore­tische Ansatz zur Erklä­rung der von der Erde aus beob­ach­te­ten Plane­ten­be­we­gun­gen, bis diese Theo­rie auf­grund ver­bes­ser­ter Mes­sun­gen nicht mehr halt­bar blieb.

Mathematik: Even-Odd-Algo­rith­mus, Kreis­glei­chung und Vektor­rech­nung: Der Mittel­punkt des Epi­zykels bewegt sich auf einer Kreis­bahn. Der jeweils aktu­elle Epi­zykel-Punkt muß zum aktu­ellen Punkt dieses Kreises addiert werden.

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