Die folgende Seite liefert eine Link­liste zu einer Aus­wahl von Bil­dern, die mit ver­schie­de­nen Algo­rith­men er­zeugt wur­den.

  • Die eine Gruppe von Algo­rith­men ver­wen­det Punkte auf vorge­ge­be­nen Kurven. Durch die Ver­bin­dung zu einem Poly­gon, das als Linie oder Fläche mehr­fach in ver­schie­de­nen Far­ben ge­zeich­net und dabei in Größe und/oder Lage ver­än­dert wird, ent­ste­hen deren Bil­der.
  • Die andere Gruppe von Algo­rith­men arbei­tet auf einer Zellen-Basis: die Zeichen­fläche wird in kleine Zellen unter­teilt, jeder Zelle ein Punkt zuge­ordnet (meist ihr Mittel­punkt, aber das ist nicht zwin­gend erfor­der­lich), und eine Funk­tion an diesem Punkt ausge­wer­tet. Zum Schluß wird der Funk­tions­wert in eine Farbe trans­for­miert und die Zelle in die­ser Farbe ausge­füllt.

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Copyright © 2010 Klaus Bernt
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Mathematik

Viele der für die Erstellung der Bilder angewand­ten mathe­ma­tischen Kennt­nisse werden bereits in der Schule behan­delt:

  • Sinus, Cosinus, Logarithmus.
  • Vektorrechnung:
    (px,py)+(qx,qy)=(px+qx,py+qy).
  • Kreisgleichung:
    Die Punkte eines Krei­ses um den Ur­sprung mit dem Radius r lassen sich mit den Koor­di­naten (r·cos(t),r·sin(t)) mit t∈[0,2π)≅[0°,360°) beschreiben.
  • Ellipsengleichung:
    Die Punkte einer Ellipse um den Ursprung mit den Halb­achsen a und b lassen sich mit den Koor­di­naten (a·cos(t),b·sin(t)) mit t∈[0,2π)≅[0°,360°) beschreiben.
  • Lissajous-Figur:
    Die Punkte einer Lissajous-Figur um den Ursprung mit den Halb­achsen a und b lassen sich mit den Koor­di­naten (a·cos(na·t),b·sin(nb·t)) mit t∈[0,2π)≅[0°,360°) beschreiben. Sind na und nb ganze Zahlen, ist die Figur geschlossen. Man bedenke dabei die Möglichkeit, dass die sichtbare Kurve mehrfach durchlaufen wird!
  • Geradengleichung in der Hesseschen Normalform:
    A·x + B·y + C = 0 mit A²+B²=1. Setzt man in den Term A·x + B·y + C einen belie­bi­gen Punkt (x,y) ein, so lie­fert er den Abstand des Punk­tes von der Geraden.
  • Parabel:
    y(x) = a·x² + b·x c.
  • Hyperbel:
    y(x) = a / x + c.
  • Even-Odd-Algorithmus:
    Beim 'Füllen' eines geschlos­senen Poly­gons stellt sich für jeden Bild­punkt die Frage, ob er inner­halb oder außer­halb des Poly­gons liegt; nur die inne­ren Punkte werden farbig markiert. Ein mög­licher Algo­rith­mus sagt: „Ein Punkt liegt innen, wenn jeder Weg ins Unend­liche das Poly­gon queren muss” (das Poly­gon bildet um den Punkt herum eine geschlos­sene Linie). Der Even-Odd-Algo­rith­mus hin­gegen zählt die Schnitt­punkte eines belie­bigen, vom Punkt aus­ge­hen­den Strahls mit dem Poly­gon: ist die Anzahl gerade (engl. 'even'), liegt der Punkt außer­halb, ist sie unge­rade (engl. 'odd'), liegt er inner­halb. Dadurch kann die flächige Fül­lung eines ge­schlos­se­nen Poly­gons 'Löcher' be­kom­men, wenn sich das Poly­gon selbst schneidet.
  • Komplexe Zahlen:
    Man definiert die kom­plexe Ein­heit i mit­tels der Eigen­schaft i²=-1. Objekte der Gestalt x+iy (x, y reelle Zahlen) werden 'komplexe Zahlen' genannt. Mit (x+iy)+(a+ib)=(x+a)+i(y+b) und (x+iy)·(a+ib)=(x·a-y·b)+i(y·a+x·b) werden 'natürliche' Erwei­te­run­gen der reel­len Addi­tion bzw. Multi­pli­kation defi­niert.
    Man kann die komple­xen Zahlen als Punkte einer Ebene auf­fassen: trägt man den Real­teil x hori­zontal und den Ima­gi­när­teil y verti­kal (mit der Ein­heit i) auf, so sieht man die Entsprechung zwischen den karte­si­schen Koor­di­naten (x,y) eines Punktes der Ebene und der kom­ple­xen Zahl x+iy. Alter­nativ kann man die gleiche Zahl in Polar­koor­di­naten schrei­ben: r·(cos(φ)+i·sin(φ)). Dabei ist der Betrag r iden­tisch mit dem Wert sqrt(x²+y²). Das Argu­ment φ ist der Winkel (im Bogen­maß, also im Bereich [0,2π)) zwischen der posi­ti­ven x-Achse und dem Strahl vom Ursprung zur Zahl x+iy (analog: zum Punkt (x,y)) gemes­sen in mathe­ma­tisch posi­ti­ver Rich­tung (Gegen­uhr­zei­ger­sinn).

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