Die folgende Seite liefert eine Link­liste zu einer Aus­wahl von Bil­dern, die mit ver­schie­de­nen Algo­rith­men er­zeugt wur­den.

  • Die eine Gruppe von Algo­rith­men ver­wen­det Punkte auf vorge­ge­be­nen Kurven. Durch die Ver­bin­dung zu einem Poly­gon, das als Linie oder Fläche mehr­fach in ver­schie­de­nen Far­ben ge­zeich­net und dabei in Größe und/oder Lage ver­än­dert wird, ent­ste­hen deren Bil­der.
  • Die andere Gruppe von Algo­rith­men arbei­tet auf einer Zellen-Basis: die Zeichen­fläche wird in kleine Zellen unter­teilt, jeder Zelle ein Punkt zuge­ordnet (meist ihr Mittel­punkt, aber das ist nicht zwin­gend erfor­der­lich), und eine Funk­tion an diesem Punkt ausge­wer­tet. Zum Schluß wird der Funk­tions­wert in eine Farbe trans­for­miert und die Zelle in die­ser Farbe ausge­füllt.

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Copyright © 2010 Klaus Bernt
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Mathematik

Viele der für die Erstellung der Bilder angewand­ten mathe­ma­tischen Kennt­nisse werden bereits in der Schule behan­delt:

  • Sinus, Cosinus, Logarithmus.
  • Vektorrechnung:
    $$ (p_x,p_y)+(q_x,q_y)=(p_x+q_x,p_y+q_y) $$
  • Kreisgleichung:
    Die Punkte eines Krei­ses um den Ur­sprung mit dem Radius  $ r $ lassen sich mit den Koor­di­naten $ (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $ mit $ t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) $ beschreiben.
  • Ellipsengleichung:
    Die Punkte einer Ellipse um den Ursprung mit den Halb­achsen $ a $ und $ b $ lassen sich mit den Koor­di­naten $ (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $ mit $ t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) $ beschreiben.
  • Lissajous-Figur:
    Die Punkte einer Lissajous-Figur um den Ursprung mit den Halb­achsen a und b lassen sich mit den Koor­di­naten $ (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $ mit $ t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) $ beschreiben. Sind  $ n_a $ und  $ n_b $ ganze Zahlen, ist die Figur geschlossen. Man bedenke dabei die Möglichkeit, dass die sichtbare Kurve mehrfach durchlaufen wird!
  • Geradengleichung in der Hesseschen Normalform:
    $$ A\cdot x+B\cdot y + C =0 $$ mit $ A^2+B^2=1 $ . Setzt man in den Term $$ A\cdot x + B\cdot y + C $$ einen belie­bi­gen Punkt $ (x,y) $ ein, so lie­fert er den Abstand des Punk­tes von der Geraden.
  • Parabel:
    $$ y(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x + c $$
  • Hyperbel:
    $$ y(x) = \frac{a}{x} + c $$
  • Even-Odd-Algorithmus:
    Beim 'Füllen' eines geschlos­senen Poly­gons stellt sich für jeden Bild­punkt die Frage, ob er inner­halb oder außer­halb des Poly­gons liegt; nur die inne­ren Punkte werden farbig markiert. Ein mög­licher Algo­rith­mus sagt: „Ein Punkt liegt innen, wenn jeder Weg ins Unend­liche das Poly­gon queren muss” (das Poly­gon bildet um den Punkt herum eine geschlos­sene Linie). Der Even-Odd-Algo­rith­mus hin­gegen zählt die Schnitt­punkte eines belie­bigen, vom Punkt aus­ge­hen­den Strahls mit dem Poly­gon: ist die Anzahl gerade (engl. 'even'), liegt der Punkt außer­halb, ist sie unge­rade (engl. 'odd'), liegt er inner­halb. Dadurch kann die flächige Fül­lung eines ge­schlos­se­nen Poly­gons 'Löcher' be­kom­men, wenn sich das Poly­gon selbst schneidet.
  • Komplexe Zahlen:
    Man definiert die kom­plexe Ein­heit  $ i $ mit­tels der Eigen­schaft $ i^2=-1 $ . Objekte der Gestalt $ x+iy $ ( $ x $ , $ y $ reelle Zahlen) werden 'komplexe Zahlen' genannt. Mit $$ (x+iy)+(a+ib)=(x+a)+i(y+b) $$ und  $$ (x+iy)\cdot(a+ib)=(x\cdot a-y\cdot b)+i(y\cdot a+x\cdot b) $$ werden 'natürliche' Erwei­te­run­gen der reel­len Addi­tion bzw. Multi­pli­kation defi­niert.
    Man kann die komple­xen Zahlen als Punkte einer Ebene auf­fassen: trägt man den Real­teil  $ x $ hori­zontal und den Ima­gi­när­teil $ y $ verti­kal (mit der Ein­heit $ i $ ) auf, so sieht man die Entsprechung zwischen den karte­si­schen Koor­di­naten $ (x,y) $ eines Punktes der Ebene und der kom­ple­xen Zahl $ x+iy $ . Alter­nativ kann man die gleiche Zahl in Polar­koor­di­naten schrei­ben: $$ r\cdot(\cos(\varphi)+i\cdot\sin(\varphi)) $$ Dabei ist der Betrag  $ r $ iden­tisch mit dem Wert $ \sqrt{(x^2+y^2)} $ . Das Argu­ment  $ \varphi $ ist der Winkel (im Bogen­maß, also im Bereich $ [0,2\pi) $ ) zwischen der posi­ti­ven $ x $ -Achse und dem Strahl vom Ursprung zur Zahl $ x+iy $ (analog: zum Punkt $ (x,y) $ ) gemes­sen in mathe­ma­tisch posi­ti­ver Rich­tung (Gegen­uhr­zei­ger­sinn).

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