Ausstellung „Mathe? — Einfach schön!”
Die folgende Seite liefert eine Linkliste zu einer Auswahl von Bildern, die mit verschiedenen Algorithmen erzeugt wurden.
- Die eine Gruppe von Algorithmen verwendet Punkte auf vorgegebenen Kurven. Durch die Verbindung zu einem Polygon, das als Linie oder Fläche mehrfach in verschiedenen Farben gezeichnet und dabei in Größe und/oder Lage verändert wird, entstehen deren Bilder.
- Die andere Gruppe von Algorithmen arbeitet auf einer Zellen-Basis: die Zeichenfläche wird in kleine Zellen unterteilt, jeder Zelle ein Punkt zugeordnet (meist ihr Mittelpunkt, aber das ist nicht zwingend erforderlich), und eine Funktion an diesem Punkt ausgewertet. Zum Schluß wird der Funktionswert in eine Farbe transformiert und die Zelle in dieser Farbe ausgefüllt.
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Klaus Bernt
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Ausstellungen zum Thema „Mathe? — Einfach schön!”
Mathematik
Viele der für die Erstellung der Bilder angewandten mathematischen Kenntnisse werden bereits in der Schule behandelt:
Normale Schulmathematik
Die Punkte einer Ellipse um den Ursprung mit den Halbachsen a und b lassen sich mit den Koordinaten (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) mit t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) beschreiben.
Die Punkte einer Ellipse um den Ursprung mit den Halbachsen a und b lassen sich mit den Koordinaten (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) mit t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) beschreiben.
Die Punkte einer Lissajous-Figur um den Ursprung mit den Halbachsen a und b lassen sich mit den Koordinaten (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) mit t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) beschreiben. Sind n_a und n_b ganze Zahlen, ist die Figur geschlossen. Man bedenke dabei die Möglichkeit, dass die sichtbare Kurve mehrfach durchlaufen wird!
Beim 'Füllen' eines geschlossenen Polygons stellt sich für jeden Bildpunkt die Frage, ob er innerhalb oder außerhalb des Polygons liegt; nur die inneren Punkte werden farbig markiert. Ein möglicher Algorithmus sagt: „Ein Punkt liegt innen, wenn jeder Weg ins Unendliche das Polygon queren muss” (das Polygon bildet um den Punkt herum eine geschlossene Linie).
Der Even-Odd-Algorithmus hingegen zählt die Schnittpunkte eines beliebigen, vom Punkt ausgehenden Strahls mit dem Polygon: ist die Anzahl gerade (engl. 'even'), liegt der Punkt außerhalb, ist sie ungerade (engl. 'odd'), liegt er innerhalb. Dadurch kann die flächige Füllung eines geschlossenen Polygons 'Löcher' bekommen, wenn sich das Polygon selbst schneidet.
Man definiert die imaginäre Einheit i mittels der Eigenschaft i^2=-1 . Objekte der Gestalt x+iy ( x , y reelle Zahlen) werden 'komplexe Zahlen' genannt. Mit
Man kann die komplexen Zahlen als Punkte einer Ebene auffassen: trägt man den Realteil x horizontal und den Imaginärteil y vertikal (mit der Einheit i ) auf, so sieht man die Entsprechung zwischen den kartesischen Koordinaten (x,y) eines Punktes der Ebene und der komplexen Zahl x+iy . Alternativ kann man die gleiche Zahl in Polarkoordinaten schreiben: